目覚め

「先生こんにちは。あたしですよ。今日はどのようなお話ですか？楽しいお話でしょうか、それとも…」

「ふふん。楽しい話ではないよ。いいかね。つい先ごろのこと、僕が執務室を空けている合間に何者かが室内に侵入して、或る本を読んだおそれがあるんだ」

「へーーー？どんなご本ですか？」

「これだ、いまここにある、この本だよ。これは恐ろしい本なのだ」

「どういうことですか？」

「この本はね、にわかには信じがたいかもしれないが、宇宙のあらゆる物質と存在量が誰にも確定できないと、そう語っている本なのだ」

「へーーー。それがどうして恐ろしい本なのですか？」

「いいかね。宇宙のあらゆる物質存在量が確定できない一方で、人間はさまざまなモノの価値を好き勝手に設定し続けている。つまり、宇宙の物質量と人間世界の価値は比例も呼応もしていない。ざーっと言えばそういうことになる」

「ははーーん？」

「したがって、人間世界の市場取引も所有権も物質上の根拠は無く、あくまでも人間オンリーの便宜とスリルにすぎないってことが、この本によって分かってしまうことになる。だから恐ろしい本だと言っている」

「ふーーーーん。それで、その恐るべき本と、このあたしと、どう関係があると仰るのですか？」

「うむ、そこを質したかったんだ。ねえ君、この本をこっそり読まなかったか？」

「いいえ。読みません」

「なあ、本当のことを言ってくれよ。僕が不在の合間に執務室に忍び込んで、この本を読まなかったか？もしも読んでいたとすると一大事なんだよ。この本は未成年には読ませてはならぬものだからね」

「へぇ？どうして未成年は読んではいけないのですか？」

「どうしてって…あのね、事の重大さは経済や法律どころではないんだ。もっと遥かに巨大なものについての解釈もガラガラっと崩れてしまうんだよ」

「へえーーーっ、例えばどんなものが…」

「地球や太陽系のサイズ、銀河の本当のスケールなどなどだ。我々人類はほとんど何も知らなかったんだよ」

「ほほぅーーーー。なーるほど。でも先生、あたしはそんな本読んでいませんよ」

「本当に読んでないんだな？」

「読んでませんってばぁ……ねえ先生、お話はそれだけですか？」

「うむ、まあな。読んでないのならそれでいい。ともかくこの恐るべき本はもっと厳重に管理することにしよう。さあ、君はもう帰っていいぞ」

「はい、それじゃあ失礼します　……　あっ、ところで先生、ほら、窓の外をちょっと覗いて見て下さいよ。星がすっごくたくさん！」

「…なんだと…？」

「まだ夕暮れ時なのに、あんなにたくさんの星が、うわぁ、昨日まで気づかなかったのですが、あらためて見やれば、うわぁーーー、すっごくたくさん瞬いています！これが本当の星空だったんですね！」

「……」

「あたし、なんだか心の目が開かれた思いです！あっちにも、こっちにも、色とりどりのお星さまがいっぱい。だからさまざまな星座群も！ああ、これらがさまざまな神話を生み出してきたんですね！そしてこれからもっともっと多くの……」

（おわり）

【読書メモ】組み合わせゲーム理論の世界

もともと僕は数学が苦手であり、その業際的な転用性（ずるさ）が本性的に嫌いでもあるが、だからって憎むほどではなく、それで時おりふふふんと数学本にも手が伸びるもの。

数学ってったってもちろん色々あって、たとえば物理量の数学、精度の数学、情報と確度の数学、会計勘定の数学や金貸しの数学などなど、功もあれば罪もある。

そして今回紹介する一冊は、数学の純然たる論理性について新たなセンスを触発させてくれるもの。

『組合せゲーム理論の世界　安福智明・坂井公・末續鴻輝　共立出版』

とりあえず本書の導入箇所に目を通してみれば　─

本書でいう「ゲーム」は、例えば石取り合戦のように、お互いに’着手’を成しつつ一定量の整数個のモノを奪い合い（消し去り合い）、双方攻防の過程で'局面'を転々と変えてゆきつつ、どちらかのプレーヤーが’着手’不能となるまで続ける競技。

この「ゲーム」にて起こりうる膨大な'局面'変化と勝敗確定、それらの数学命題化と証明、そして端的な実証例…これらが（おそらくは）本書の主題であり、さまざまな論題のヴァリエーションと複合化を通じた基本構成でもあろう。

じっさい、サブタイトルには「数学で解き明かす必勝法」と冠されている。

さらに、数学素人の僕なりにちらっと想像膨らませてみれば、このゲーム必勝数学の応用ルールセットは石取りやオセロなどに留まることなく、もっと複雑な局面コンビネーションのコンュータゲームなども大いに含むのではないかと察する。

ともあれ、本書導入箇所のほんの一端のみを僕なりに了察した上で、此度の読書メモとして以下に略記する。

本書導入箇所からおこる「組み合わせゲーム」とは、以下の前提を最低要件とするルールセット（競技）の中核的モデルである；

・サイコロなどの偶然の要素を含まず、確定性に則って競い合うルールセット

・各プレーヤーの’着手’がお互いに開示され、完全情報性が保証されているルールセット

この「ゲーム」の導入的なとっかかり定義づけとして；

(G1) とりあえずプレーヤーを2人として、交互に'着手’するか、あるいは放棄(パス)する

(G2) '着手'の機会を永遠に失ったプレーヤーが負けの、正規形ゲームである

(G3) ’着手’による’手数’の総計は有限回数である

(G4) 各'局面ごとの'着手'は有限個である

なお、'手数’は有限回数とはいえ、各’局面’ごとの’着手’も有限個に留まるとは限らない（超限ゲームたりうる）。

或る’局面’から有限の’手数'を辿って到達可能な新’局面’を、もとの局面の’後続局面’とみなす。

トータルの’手数’をそれらの集合とみなし、その集合の要嘘数は終了局面で1とし、そこに至らぬ局面での要素数は1より小さいとする。

これで、必ず勝敗が片付くショートゲームたりうる。

しかし、延々とループする千日手ゲームもありうるとする。

以上の基本定理が成り立つならば、任意の局面にて「一方のプレーヤーのみが必勝戦略」を有しうる。

しかしながら、どちらのプレーヤーが「必勝戦略」に在るのかをひとつひとつの’着手ごとに検証してゆくことはおそろしく困難。

’着手’が少ない（あっという間に片付く）単純ゲームならばまだしも、じっさいのルールセットにおける「ゲーム」はおのおのプレーヤーの’着手’の数がどんどん増えてゆきうるので、それら組み合わせによる’局面’の数も爆発的に増えてゆくことになる。

そこで発揮されうる超協力な数学が、『組合せゲーム理論』である。

さまざまなゲーム’局面’のうちに統一的つまり数学的な構造を見出し、代数の数学に則って「必勝戦略」とそのプレーヤ―を特定可能。

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「必勝戦略」検証の上での単純で端的なゲームとして、「不偏ゲーム」がある。

そもそも不偏ゲームの基本前提として；

或る局面の直前まで’手番’を有していた’後手’プレーヤー’が「必勝戦略」を有する局面をP局面とする。

一方で、これから’手番’を為す’先手’プレーヤーが「必勝戦略」を有する局面をN局面とする。

だから、不偏ゲームにては終了局面は必ずP局面となる（後手が勝ったことになる）。

しかし、或る局面がたった1手でP局面に遷移するならば、この局面はN局面である（だから先手が勝ったことになる。

さらに　─

この不偏ゲームにてありうる全’局面’の全体集合をLとする。

うち、ありうる終了’局面’の集合をTとする。

（上の定義に則った）さまざまなP局面の集合を集合Pとしし、またさまざまなN局面の集合を集合Nとする。

全体集合Lを 集合Ｎと 集合P に分割、L=N∪P とする。

以上から成り立つ、不偏ゲームの命題：

①　集合T ⊂ 集合P である。

或る局面Gがあり、そこから１手で遷移しうる局面をG´として ─、

②　G∈NならばG´∈PとなるG´は存在する

③　G∈PならばG´∈PとなるG´は存在しない。

この命題の証明。

まず、与えられた或る局面が終了局面のとき、この局面は①から集合Pに属しており、かつ正規形ゲームなので、この局面は必ずP局面となる。

一方、与えられた或る局面が集合Ｎに属しているとき、この局面は②から１手でP局面に移動できるので、数学的帰納法からこの局面は必ずＮ局面である。

また、与えられた或る局面が集合Pに属しつつも、終了局面ではないとき、③から１手先の局面はすべてN局面となり、だからこの局面は必ずP局面となる。

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かかる不偏ゲームのうち最も分かりやすいもののひとつが、ニム（NIM）である。

端的な例が「石取りゲーム」など。

原型は以下。

幾つかの有限個の石を集めて’、幾つかの山’を作る。

とりあえずプレーヤーを2人とし、交互に１つの’山’から好きなだけ石を取る（’着手’する）。

石が1つも無くなった局面を終了局面とし、（上で記したように）これはP局面である。

’山’が1つだけになった局面は、ここに残った石をすべて先手が取り去ってゲーム終了局面と出来、だから(上で記したように)これはN局面。

これを数学命題にすると　─

'山'が１つのニムの局面 (m1)  では  m1=0 のときP局面、そうでなければN局面。

'山'が２つのニムの局面 (m1, m2) では、m1=m2 のときP局面、そうでなければN局面。

これらの命題を証明（前者命題は後者命題に含まれるので、後者のみ証明）。

２つの’山'における石の’偶数和’について数学的帰納法で証明する。

まず m1+m2=0 のとき（すなわち m1=m2-0 のとき）明らかに終了局面、よってP局面である。

さらに、

m1+m2 = k >0 のときにこれら命題の主張が成立すると仮定。

ここで m1+m2 = k+1 の場合。

局面(m1, m2) は着手によって (m´1, m2) あるいは (m1, m´2) に変わり、ここでは(m´1, m2)に変わるとする。

（なお m´1<m1 また m´2<m2 ）

m1=m2 の場合。

m´1< m2 でありまた m´1+ m2 ≦ k であるので、数学的帰納法によって一手先の局面はすべてN局面といえる。

したがい、(m1, m2) はP局面である。

m1≠m2 かつ m1<m2 の場合。

(m1, m2) からは着手によって (m1, m1) に変わる。

m1+m1 < m1+m2 = k+1 であるから  (m1, m1) はP局面であり、一手先がP局面となるのだから数学的帰納法から (m1, m2)はN局面である。

ここまでが’山’２つの場合に限ったニムの命題と証明。

だが、’山’が３つ以上あると石の数もまた着手もヴァリエーションがぐっと増え、だから局面変化の数も増えてしまう。

そこで今度は、石のあらゆる数を２進数に置き換えた上で排他的論理和として表現する「ニム和」を導入し、さまざまなニム和が0となれば必要かつ十分にP局面であることを示し…

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以上、あくまでもほんの導入箇所のみをざっと掻い摘んでみた。

プレーヤーの’着手’ごとにもたらされる’局面’変化と勝敗判定について、ほんの導入編の一端に過ぎぬが、それでもこれだけの数学技法がある。

本書のコンテンツはさらに整数集合論の活用なども併せ含め、ヴァリエーション図案も数式も高次に複雑になり、さまざまパズルやコラムも交えつつ200頁以上にわたって展開してゆく。

数学に（数学思考に）自信のある社会人さらに大学生や高校生に是非チャレンジ薦めたい’新しさ’がここにある　─　とはいえ僕にはすべての捕捉は出来そうにもないので、また気が向いたらちょっとずつ読み進めてゆくつもりだ。

おわりだ

【読書メモ】化学と歴史のネタ帳

 『化学と歴史のネタ帳  Ⅰ. 酸とアルカリ  遠藤瑞己　文彩堂出版』

本書は巻頭箇所にも案内のとおり概ね高校化学の範疇に則りつつ、化学イノベーションと協調あるいは拮抗してきた政治/軍事の諸事情をも併せ綴ったもの。

化学選択の高校生～大学生などなどがヨリ学際的な着眼を鍛えてゆく上で、恰好のガイダンスたりえよう。

そもそも自然科学は文字通り’自然物’の状態や運動の探究が本性ではあり、中でも物理学は’人工性’（つまり数学上の再現性）との同期に絞り込んだ科学といえよう。

一方で、もっと’人工的’な操作性に準じつつも、もっと’拡張的’な創意から実践までもたらしてきた物質科学こそが「化学」である。

化学のスリリングな創造性と拡張性はズバぬけている　─　或るインプットが或るアウトプットを生み出しつつ、そこでのデリバティヴを別の反応系にインプットすれば新たなプロセスが進行し…と、さまざまマテリアルがパズルのごとく入りつ解れつである。

よって、化学の活かし方によっては次々と産業を興し、市場を拡大しうるだろう、となれえば、デフレだろうがスタグフレーションだろうがなんぼでも克服可能ではないか。

…僕なりの所感をひっくるめて言えばざっと上述のとおりとなる。

なお予め注記しおくが、本書にては実践上の環境要件や物理量にかかる描写は控え目に留められてはいる。

よって、今回の【読書メモ】にても、あくまで総論的な化学反応式まわりを僕なりに引っ括って、以下にさらっと要約するに留め置いた。

範囲は「第１部（アルカリ）」である。

18世紀以来、石鹸やガラスの製造原料として炭酸ナトリウム(Na2CO3)が大量に求められた。

海草類や樹木灰など植物性アルカリも器用されてはいたが、これでは需要に間に合わず、そこで'人工的'にアルカリを合成するため、硫酸ナトリウム(Na2SO4)から炭酸ナトリウム（Na2CO3)が得られるようになる。

Na2SO4 + 2C → Na2S + 2CO2

Na2S+ 2CH3COOH → 2CH3COONa + H2S

2CH3COONa → Na2CO3 + (CH3)2CO

また、硫酸ナトリウムと石灰(Ca(OH)2) から、水酸化ナトリウム(NaOH)を作る方法も確立された。

Ns2SO4 + Ca(OH)2 → CaSO4 + 2NaOH

なお、火薬の原料としては、炭酸カリウム(K2CO3)を使って硝石(KNO3)を製造し、これをもとに硫酸(H2SO4)が合成されてきた。

しかしアメリカ独立戦争～フランス対外戦争の時期になると、炭酸カリウムがヨーロッパに入ってこなくなった。

硫酸ナトリウムを活かしつつ、炭酸ナトリウムの品質安定と大量生産のためヨーロッパ側で開発されたのが「ルブラン法」。

2NaCl + H2SO4 → Na2SO4 + 2HCl

このNa2SO4 と炭から 硫化ナトリウム(Na2S)ができる

Na2SO4 + 2C → Na2S + 2CO2

さらに石灰石CaCO3を反応させて

Na2S + CaCO3 → Na2CO3 + CaS

尤も、こうして大量生産用に開発された炭酸ナトリウムも、ナポレオンによる「塩税」政策によりしばらくはローkカルビジネスに過ぎなかったが、1825年以降にはヨーロッパで拡大生産と販売へ。

炭酸ナトリウムによるソーダ産業の勃興は、ヨーロッパの基本的な産業技術を革新させ、、反射炉から回転炉への転換、耐火材の開発などは製鉄業にも応用されていった。

炭酸ナトリウムと石灰水を反応させると水酸化ナトリウム(NaOH)に変化する。

Na2CO3 + Ca(OH)2 → 2NaOH + CaCO3

さらに未反応の硫化ナトリウム(Na2S)に硝酸ナトリウム(NaNO3)を加え、これを加熱すると、硫酸ナトリウムなどに変わりつつこのNa2Sが分離される。

ここに亜鉛ZnOを加えればNa2Sをもっと分離出来、かくて水酸化ナトリウム(NaOH)の純度が高まる。

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炭酸ナトリウムの製造方法としては「アンモニアソーダ」法もある。

NH3と水と二酸化炭素を反応させて、炭酸水素アンモニウム(NH4HCO3)を作り、これを食塩水(NaCl)と反応させてNaHCO3を生成させ、これを加熱すれば炭酸ナトリウムとなる。

さらにここで、炭酸ナトリウムと炭酸水素アンモニウム(NH4HCO3)を反応させれば、炭酸水素ナトリウム(NaHCO3)が生成される。

これに、純度高い塩化ナトリウム(NaCl)とアンモニア(NH3)と二酸化炭素を投入すれば、塩化アンモニウム(NH4Cl)も出来る。 

この生成方式が「ソルベー法」。

塩化アンモニウムは肥料として活かされるようになった。

NaCl + H2O + NH3 + CO2  →  NH4Cl + NaHCO3

2NaHCO3 → Na2CO3 + H2O + CO2

一方では、炭酸ナトリウムと鉄(Fe2O3)を組み合わせて水酸化ナトリウム(NaOH)を生成する方法も確立された。

ソルベー法は20世紀初めにはアメリカ含め全世界に普及していった。

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19世紀末の発電機の発明や人工炭素電極の実用化によって、大スケールの電気分解の工業化が始まった。

その端的な例が塩素ガス(Cl2)の製造であり、ここで開発された製造方法が「電解ソーダ法」。

陽極のCl2と陰極のH2およびNaOHによる反応。

2NaOH + CO2  → NasCO3 + H2O

この電気分解では水素ガス(H2)も同時に大量生成が出来、こちらは気球や飛行船に投入された。

ここで次亜塩素酸ナトリウム(NaClO)などを生じないよう、隔膜を以て分離させる。

「電解ソーダ法」として普及したのが「水銀法」。

塩素(Cl)とナトリウムの電気分解にて、NaOHとCl2を反応させないように、陰極側ではナトリウムと水銀のアマルガム(Na-Hg)を生成する。

全反応としては、2NaCl + 2Hg  →  2(Na-Hg) + Cl2

さらにこのアマルガムに水を加えると、

2(Na-Hg) + 2H2O  →  2NOH + H2 + 2Hg

こうして水酸化ナトリウム(NaOH)をきれいに分離抽出が出来る。

※　尤も、この「水銀法」は有機水銀による公害ももたらしたため、電界ソーダ法としては「イオン交換膜法」に切り替えられていった。

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そもそも窒素は植物の重要な栄養源かつ肥料であり、ヨーロッパ農業では南米チリからの硝石(NaNO3)に多く拠っていた。

またこれに塩化カリウム(KCL)を反応させ、黒色火薬の硝酸カリウム(KNO3)も合成されていた。

NaNO3 + KCL → KNO3 + NaCl

さらに、硝酸(HNO3)も製造でき、これがTNTやニトログリセリンへ。

2NaNO3 + H2SO4  → 2HNO3 + Na2SO4

電気化学の発展によりアーク放電（電弧法)が活かされると、この硝酸製造が大規模化可能となった。

この硝酸と石灰石を反応させれば硝酸カルシウムが出来る。

2HNO3 + CaCO3 →  Ca(NO3) + CO2 + H2O

19世紀末、アンモニア生成の「石灰窒素法」。

電気炉内で合成されたカルシウムカーバイド(CaC2)と窒素ガスからアンモニア(NH3)を合成する。

CaO + 3C → CaC2 + CO

CaC2 + N2 → CaCO3 + 2NH3

なお、この途中で生産される石灰窒素(CaCN)は肥料としても大いに使われるようになる。

1902年、アンモニア(NH3)から硝酸(HNO3)を製造する「オストワルト」法。

4NH3 + 5O2 → 4NO + 6H2O

2NO + O2  → 2NO2

3NO2 + H2O → 2HNO3 + NO

1913年、窒素ガス(N2)と水素ガス(H2)の直接的な合成によってアンモニア(NH3)製造する「ハーバー・ボッシュ」法。

N2 + 3H2  → 2NH3

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1914年、第一次大戦。

ドイツによるフランス侵攻作戦'シュリーフェンプラン'は'マルヌ会戦'で頓挫し、ここからドイツは消耗戦へ。

弾丸や魚雷や砲弾のため大量の窒素化合物が必要となるが、ここまで頼りにしてきたチリの硝石が輸入不可能となった。

そこでドイツは「石灰窒素法」に大注目したが、ここまでは低品質の褐炭が大量に投入されていたため加熱効率が悪く、だから石灰窒素法による窒素化合物の大量生産も困難であった。

しかし「ハーバー・ボッシュ」法によるアンモニア製造ならば、プロセスが省力的であり、このアンモニア(NH3)が硝酸(HNO3)と硝酸アンモニウム(NH4NO3)になった。

NH3 + 2O2  → HNO3 + H2O

NH3 + HNO3 → NH4NO3

一方で、「オストワルト法」は鉄をベースとした触媒の発見後に硝酸製造の効率が高まった。

こうしてドイツの硝酸アンモニウム製造能力は大きく増大し、軍事力も農業も支えることが可能となったはずだが、しかしドイツは戦局挽回することなく第一次大戦は終わってしまった。

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ここまでの「ハーバー・ボッシュ」法は約20MPaの低圧下におけるアンモニア生成であったため、高温でアンモニアが分解しやすく、これを防ぐためにわざわざアンモニアを液化しなおしてから抽出せざるをえなかった。

フランスのクロードは第一次大戦の終戦直前に約100MPaの高圧化にて500℃でのアンモニア合成に成功しており、これはほとんどの窒素と水素を反応させる高効率の方式である。

また、農地を確保しづらいイタリアでも合成窒素が大いに求められ、このため第一次大戦終了に前後して高効率のアンモニア合成が模索されており、カザレーが鉄くず触媒を用いつつ80MPaの高圧下でのアンモニア合成に成功。

1920年代以降、世界的な化学工業の成長に伴い、ヨリ効率的になった「ハーバー・ボッシュ」法によるアンモニア合成が進んだが、このため水素ガスの需要も増大した。

そこで、たとえばイタリアでは地形の高低差による水力発電とその設備が、アンモニア合成および水素ガスの大量生産に大いに活かされることになり、これが「ファウザー」方式。

KOH水溶液の電気分解による水素ガス製造

2H2O + 2e^-　→　H2 + 2OH⁺

アンモニアガスへの硝酸噴霧による硝酸アンモニウム製造

2NH3 + H2SO4 →  (NH4)2SO4

高圧下では…

４NH3 + 5O2  →  4NO + 6H2O

2NO + O2  →  2NO2

2NO2  → N2O4

2N2O4 + O2 + 2H2O  →  4HNO3

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以上が、「第１章（アルカリ）」についての僕なりの超大雑把な要約である。

本章はさらに、カリウムや塩素ほか1940年代以降のプラスティック需要増大などにもふれつつ、学際的な論説が続く。

化学選択の高校生や化学分野専攻の大学生諸君にとって、本書は化学の本性的なダイナミズムはむろん、学際的な着想をも大いに拡大し得る一冊であろう。

同じ理由から、とくに「第３章（酸と塩基）」におけるアレニウスの定義などなども是非一読をチャレンジして欲しい。

おわり