いわゆる「○○の××」といった主題における日本語の助詞『の』は、英語の"of"に近く、○○が××と同質の関係にあるという意も成立させるが、また、○○が××を含むという集合論にもまたがり、どうも論理的にしっくりこないところがある ─ ただ、論理的にしっくりこなくとも人間の根本的な直観には存外馴染むものもある。
…などと強引に鯱張って今般の【読書メモ】を起こすのには、理由がある。
そもそも、人間の論理と直観は、どの程度まで同一でどのくらい乖離しいるのか ─ この問題への解釈と経緯を慎重に分析されたなかなかの名著を、今般紹介するからである。
『数学の想像力 加藤文元・著 筑摩選書』
昨年６月に出た本書は、このタイトルからして（けして皮肉ではなく）我々の直観と論理の同質性を仄めかし、一方でサブタイトルに添えられた「正しさの深層に何があるのか」は、寧ろ直観と論理に対する野心的な分析を予感させる。
つまり、本書は数学理論についての本というよりは、論理と直観についての論説なのであり、さらにはその歴史的概観でもある。
どれどれと手にとって立ち読みを始めてみれば、本書は古今東西の数学論の引用紹介がなかなか楽しく、また比較的汎用性の高い語彙をおきつつ書き進められており読み易い！（だからちゃんと買って読んだのよ。）
が、何といっても本書は、恐らくは著者が論旨の飛躍を徹底的に回避しつつ、厳正な解釈展開を追求したが所以であろうか、総じて文脈が慎重かつ重層的で、記述量も多いが密度も高い。
ゆえに、僕のような数学素人の読者こそ、却って特定の着想観念に駆られることもなく、哲学史に接するがごとく泰然自若に構えつつ、きっと数時間の読書に没頭することが出来るだろう。
さはさりとて、本書はともかく主題範疇が極めて幅広く、以下に僕なりの【読書メモ】として箇条書きするにあたっては、特に「基礎数学」の根本を成す論証などごく一部の紹介に留めることとする。
・数学において＜正しさ＞を確信させてきた基本的要素。
「基盤」 ─ 共通の数学世界に住み、共通の数学言語を話す前提
「流れ」 ─ 特に西洋数学における対話や演繹証明などの論証過程もあれば、和算のように計算手順そのものの精度で論証するものもある
「決済」 ─ 論証の落としどころ、往々にして直観的
・数学と音楽は、どちらも時間軸に沿った心理展開に依るというところ、構成上の類似点が多い。
だが、背理法に似た展開構成の音楽は無い。
背理法は、間接的に虚構を敢えて据え置き、時系列を心理的に逆転させつつ最終的に矛盾を突く論証である。
（古代ギリシアで、素数が無限に存在することを証明する古典的なケースにて早くも応用されている。）
通常見受けられる論証の流れが、仮定→推論→結論 である反面、背理法の論証は 結論の否定→推論→仮定の否定 （対偶）である。
・図形は論理的には無限に存在する、が、正方形が誰にとっても正方形であること明らかなように、先験的な知＝直観による万民共通の「正しさ」は「見る」ことによって共有出来る。
図形の証明問題における補助線の有効性も、まさに「見せる」ことによって直観的な正しさを想起させるところにある。
代数学のように抽象度の高い分野でも同じことで、記号文字をあたかも「実在として見る」経験の蓄積からこそ「正しさ」の認識は確実となり、「見る」「見せる」ことによってこそあらゆる論証は最終的に解決される。
…というのがソクラテスの時代あたりまでの数学の着想であった。
・ピタゴラスの時代以前まで、「線分の比、つまり正の有理数」のみが数であった。
だが、正方形の一辺に対する対角線の比「√２」が発見されて以来、存在量として「見せる」ことの出来ないいわば「通約不可能な」数の存在が認識されるようになった。
（※ √２が有理数ではない由も、背理法で説明されるのが普通、教科書にも掲載されている。）
こうしてピタゴラスの時代以降、「見る」「見せる」ことによる証明は重きをおかれなくなった。
・さらに数世紀のち、『ユークリッド原論』に至ったギリシア数学は、さまざまな「定義」「要請（公準）」「共通概念」の明示、それらの厳密な演繹引用が特徴となった。
たとえば、与えられた線分の上に正三角形を作図、或いは、与えられた点において与えられた線分を置く ─ といった命題の実現性を証明する場合。
この場合ですら、「定義」「要請」「共通概念」の精緻な組み合わせと演繹によって、いわば論証の一文一文をいちいち正当化する形式をとりながら証明を進めている一方で、「見れば」一目瞭然の図形は極力排除されている。
・この演繹的論証の伝統？はヨーロッパ数学で受け継がれ、19世紀初頭の解析学の理論数学者たちは、線分と線分の交点の存在すら自明ではない、と考えるようになり
…さらに実数論や微分積分学の発展に至る。
・円周率πの素朴な計算法で、円に内接する正多角形および外接する正多角形の、それぞれの外周の長さから円周を計算する際、西洋数学では内接図形の外周と外接図形の外周との大小関係により、円周を対話的に「証明」する。
が、和算においては接する多角形の近似計算精度のみにおいて正しさを論証するため、対話的な「証明」が無い。
この和算における独特の正しさ感覚は、日本独特の工業技術と関係があるやもしれない。
（※ 僕なりの所感だが ─ たとえば命題ＡがＡであることを西洋数学に則って証明するためには、Ａ＝Ａであるとともに、Ａ≠Ｂであることも証明しなければならないが、伝統的な和算によれば、Ａ＝Ａとなる経緯を厳密に実証すればそれで証明済となろうか。）
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…更に、まだまだ多くの数学論、その試行錯誤の歴史概括が続くが、僕にはとても全貌の紹介をするだけの知識も気力も無いので、ここらで留め置く次第。
とまれ、繰り返しになるが、本書は数学理論に則った本ではなく、むしろ論理と直観が現代科学に至るまでどのように併存し、あるいは如何ように乖離してきたかを再認識させる論説である。
大学受験生であれ、高校生であれ、更には社会人であれ、数学「という」想像力の根源まで立ち返ってみたいと考える人たちには、是非一読を薦めたい一冊である。
以上
「おい、俺たちはみなBTSTBTSTBTSに集合しているぞ、打ち合わせが始まるぞ、なぜあんただけ来ないんだ？」
「へぇ？そんな約束、していましたっけ？」
僕はとぼけた声を挙げた。
「してただろ、何を言ってんだあんたは、メールをチェックしてみろ！」
「分かりました」
僕は早速、今朝入信したメール３００万件のうち、「BTSBTSTSBTS」 のワードにヒットするもの３０００件を抽出し、それから、「打ち合わせ」 の語でさらに検索すると、１８件のメールに絞られた。
それらを全部、大急ぎで速読して、「あのぅ、やっぱり今日の打ち合わせの指示連絡は、無いようですが」
「そんなはずは、ないだろう、BTSTBTSTBTS だぞ」
「あっ」
僕は気づいた 「失礼しました！僕が検索していたのは BTSBTSTSBTS に関するもので」
「なにやってんだ、おい、もう一度メールをチェックしてみろ！」
あらためて、今朝入信のメールで再検索をすると、今度は５万件が抽出され、そこから「打ち合わせ」の語でさらに検索すると、６８５件のメールが該当したので、これらを大急ぎで速読。
「あのぅ」 僕はうんざりしながら答えた 「やっぱり、そんな指示連絡は頂いてないようですよ」
「なにを言ってんの？しっかりしてくれよ！ワタナベイトウササキカバヤマ部長から連絡が有ったじゃないか！」
「ワタナベイトウササキカバヤマ部長…？」
なんとなく、妙な気分がした ─ そんなような名前の部長が、５年くらい前に死んでいたような。
そういえば、さっきから電話で話しているこの相手、いったい誰だったっけなぁ ─ 。
（養老孟司先生に触発されて）
柱時計がこーんこーーーーんと鳴った。
午後４時、かと思ったら、おや、もう５時だったのね。
心なしか陽の翳ってきた部屋では、老婦人がいそいそ、出かける支度。
そこへ。
ドタドタと孫娘が駆け込んでくると、おや、心なしか、ぽっかぽかと温か。
老婦人は、少しだけ外出を躊躇してみたり。
まあ、こんなものね － と、ほくそ笑む － なんだ、かんだと、名残惜し。
差し込む日射しは、ぐるりと、でっかく。
「ねえ、おばあちゃん、どうして、いつも帽子を被って出掛けるの？」
ほーら、始まった。
若い子は、すぐ理屈をつけたがる。
本当は他人の理屈なんか聴きたくないくせに。
「あら、女性はね、お出かけも真剣勝負なのよ」
「ふーーん、そんなもんなの」
ませた口調で、孫娘は自らの指先を、つ、と顔の前に掲げ、爪と手の甲を代わる代わる。
つくづく、見つめている。
老婦人が苦笑をおさえつつ、かすかに微笑む。
微笑みながら、いつもの黒い帽子。
つばがやや狭くて水色のリボンのついた、その帽子を、白髪頭の上にちょいとのっける。
「おばあちゃん…ねえ？おばあちゃん？」
今度は孫娘が、奇妙に笑いを噛み殺したかのような声色をあげる。
「何かしら？」
「おばあちゃんの、その帽子、白髪を隠すためなんでしょう？」
「あらあら、まあ、そうかもしれないけど、だったら、どうなのかしら？」
「…それとも、顔を隠すため？ねえ？そうなの？ねえ？」
さてさて、何と答えてやったものか。
「あ、わかった！若く見せるためでしょ？」
おや、おや、まあまあ。
なんでも、かんでも、すぐそこに答えがあると思ってるのねぇ。
老婦人は、また、ほくそ笑む。
「そうね、全部かもね」
そういうと、老婦人は帽子のつばをちょいとつかんで、ぐいっ、と深くふかく被り直してみる。
私なりの“流儀”。
何事にも、流儀ってものがあるのよ。
お分かりかな、お嬢ちゃん？
「ねえ……おばあちゃん、みんな歳をとったら、顔を隠したがるの？」
とつぜん、孫娘がかすかに、心細そうに。
老婦人は、玄関にささっと立つと、靴に足を踏み入れる。
「あたしも、いつか、そうなるのかなぁ？」
「ええ……？あんたが、どうなるって……？」
「あたしも、帽子を被ってお出かけするようになるのかなァ？」
まあ、まあ、この子は。
でも、ご心配なく。
あなたがそんなことを考えるのは、もう、ずーっと、ずーーっと、先でいいのよ。
ほら、ほら、あたしの話を聞きなさい。
聞くだけなら、タダなんだから。
あまりにも安すぎて、どこにも売っていないくらい。
だからこそ、よーく聞きなさい……。
この帽子はね、つまり、捕まえるためなのよ。
時間がどんどん逃げていかないようにね。
自分が霞んでしまわないようにね。
時間の翼の止まった瞬間を見計らって、サッと上から捕まえるためなの。
そう……すっごく大きな譜面のね、さらさらっと流れていく音符をね。
きゅっと、捕まえるってこと。
これが、あたしなりの人生の流儀なのよ。
流儀というもの、お分かりかしら、お嬢ちゃん。
さぁ、さぁ、わたしは出かけよう！
老婦人は、颯爽とドアを押し開けて、タッタタ、タッタタ、と足早に出て行く。
さて、孫娘はといえば。
三面鏡に向かって、ブゥゥゥ、と、ちょっとヘンな顔。
かと思えば、もう。
真顔に戻って髪を梳かしている。
ねぇ、ねぇ、聞いた？
あのね、人生には、流儀というものがあるんだってさ～。
じゃあ、おませさんでも、いいもんね。
と、いうわけで。
またひとつ賢くなったあたしは、時間を超えて、鏡のあっちからこっちへ。
すーい、すいすい。
きっと、あしたも、あさっても。
タッタカ、タッタカ、タンタタ、ターーーン ♪
そう、ピアノのスタッカートのように。
これが、あたしの、流儀なの。
ちょっと毛癖のある前髪は、まるで天使の翼のように、ふわふわしている。
と、思えば、ほら、鏡の隅から、もう夕陽がさしかかっている。
おわり
（何年か前に書いたものを改編）
